Question

【题目】在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.

（1）如图1，当=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；

（2）如图2当=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=，请直接写出△BDE的面积.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）2

【解析】

（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题；

（1）如图①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．
理由：如图②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共线，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（负根已经舍弃），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．