Question

如图，已知直线l的解析式为y =  x–1，抛物线y = ax²＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点．

（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；

（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

Answer 1

解：（1）∵ y = ax²＋bx＋2经过点B、D

    ∴

解之得：a =–，b =–

∴ y =–x² – x＋2

∵ A（m，0）在抛物线上

∴ 0 =– m² – m＋2

解得：m =–4

∴ A（–4，0）

图像（略）

（2）由题设知直线l的解析式为y =  x–1

∴ S =  AB·PF

    =  ×6·PF

    = 3（– x² – x＋2＋1– x）

    = – x² –3x＋9

    = –（x＋2）² ＋12

其中–4 < x < 0

∴ S_最大= 12，此时点P的坐标为（–2，2）

（3）∵ 直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0）

∴ PB所在直线的解析式为y =– x＋1

设Q（a， a–1）是y =  x–1上的任一点

则Q点关于x轴的对称点为（a，1– a）

将（a，1– a）代入y =– x＋1显然成立

∴ 直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上