Question

已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），圆O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q．
（1）求∠POQ的大小（用α表示）；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与圆O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果AB=m（m为已知数），cosα=

3

5

，设AD=x，DE=y，求y关于x的函数解析式（要指出函数的定义域）

Answer 1

分析：（1）根据题意得∠OAP=∠OBQ=α，再由圆O分别和AC、BC相切，推得∠POQ=2α；
（2）先证明△OEM≌△OEQ，得出两对相等的角：∠MOE=∠QOE，∠MOD=∠POD，则∠DOE=180°-a，从而得出结论∠DOE的大小保持不变．
（3）由三角函数的定义，求出AP，DM的长，然后证明△ADO∽△BOE，得出比例式

BE

AO

=

AD

BO

，求得BE、ME，表示出DE=DM+ME=x+

m2

4x

+

3

5

m，写出所求的函数解析为y=x+

m2

4x

+

3

5

m(x＞0)．

解答：解：（1）∵AC=BC，
∴∠OAP=∠OBQ=α
∵圆O分别和AC、BC相切于点P、Q，
∴∠OPA=∠OQB=90°，（1分）
∴∠AOP=∠BOQ=90°-α（1分）
∴∠POQ=180°-2（90°-a）=2α（1分）

（2）∠DOE的大小保持不变，（1分）
说明理由如下：
连接OM，由切线长定理，EM=EQ
又∵OM=OQ，OE=OE，
∴△OEM≌△OEQ，
∴∠MOE=∠QOE（1分）
同理，∠MOD=∠POD（1分）
∴∠DOE=

1

2

（∠POM+∠QOM）=

1

2

（360°-∠POQ）=180°-a，
∵a为定值，
∴∠DOE的大小保持不变．

（3）由OP=OQ，并根据等腰三角形的性质，得O是AB的中点，
即OA=OB=

1

2

AB=

m

2

，
AP=BQ=AO•cosa=

3

10

m，DM=DP=

3

10

m+x（1分）
在△ADO和△BOE中，∠DAO=∠OBE=180°-α
∵∠ADO+∠AOD=∠OAP=α，
又∵∠BOE+∠AOD=180°-∠DOE=α，
∴∠ADO=∠BOE，于是△ADO∽△BOE（1分）
∴

BE

AO

=

AD

BO

，BE=

AO•BO

AD

=

m2

4x

（1分）
∴ME=QE=QB+BE=

3

10

m+

m2

4x

（1分）
∴DE=DM+ME=

3

10

m+x+

3

10

m+

m2

4x

=x+

m2

4x

+

3

5

m
因此所求的函数解析为y=x+

m2

4x

+

3

5

m(x＞0)．（1分）

点评：此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．