Question

如图，抛物线y=ax²+bx-交x轴于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，对称轴直线l交x轴于点M，连结CM，将∠CMB绕点M旋转，旋转后的两边分别交直线BC、直线CD于点E、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E为BC中点时，射线MF与抛物线的交点坐标是______；
（3）若ME=CF，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）因为抛物线过A（-3，0）、B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴；

（2）∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等边三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠BMC=∠EMF=60°，
当点E为BC中点时，
∴∠BME=∠CME=30°，
∴∠FMC=30°，
∴MF是抛物线的对称轴，
∴射线MF与抛物线的交点是抛物线的顶点，
∵，
∴顶点坐标为：，

（3）∵OA=3，OB=1，OC=，
∴，
又∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB中点，
∴CM=BM，
∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等边三角形，
∴∠CMB=∠MCB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCD+∠EMF=180°，
∴∠MEC+∠MFC=180°，
∴∠MEB=∠MFC，
又∵∠EMB=∠CMF，
∴，
∴△MBE≌△MCF，
∴MF=ME，
又∵ME=CF，
∴MF=CF，
令对称轴与CD交于点H，点F的横坐标为t，
在直角△MHF中MF²=MH²+HF²
即，
∴，，
当时，BE=CF=，
过点E作EG⊥x轴，垂足为G，
在直角△BGE中，
∵∠GBE=60°，
∴∠GEB=30°，
∴GB==，
∴GE=，
∴E（，），
同理，当时，点E（，）．
故答案为：．
分析：（1）把A（-3，0）、B（1，0）两点的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx-求出a和b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）根据旋转的性质可知∠BMC=∠EMF，再根据题目的已知条件可证明△BMC是等边三角形，所以∠BMC=∠EMF=60°，由等边三角形的性质可求出F点的坐标，当点E为BC中点时，可以证明射线MF与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点；
（3）由（2）可知△MBC是等边三角形，所以∠CMB=∠MCB=60°，因为AB∥CD，所以∠ACD=30°，所以∠BCD=120°，所以∠BCD+∠EMF=180°，所以∠MEC+∠MFC=180°，进而得到∠MEB=∠MFC，又∠EMB=∠CMF，所以△MBE≌△MCF，所以MF=ME，又ME=CF，所以可得到MF=CF，令对称轴与CD交于点H，点F的横坐标为t，利用勾股定理计算即可．
点评：本题综合性的考查了用待定系数法求抛物线的解析式、用公式法求抛物线的顶点坐标、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．