Question

（2012•郑州模拟）如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=

4

cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．

Answer 1

分析：作MD⊥AC，NE⊥BC，设AC=xcm，则BC=（8-x）cm，将两三角形面积之和表示为S=

1

2

•x•

1

2

x+

1

2

•（8-x）•

1

2

（8-x），转化为二次函数的最值问题解答．

解答：解：作MD⊥AC，NE⊥BC，
∵△AMC和△CNB是等腰直角三角形，
∴DC=MD，EB=NE，
∴设AC=xcm，则BC=（8-x）cm，
∴两三角形面积之和为S=

1

2

•x•

1

2

x+

1

2

•（8-x）•

1

2

（8-x）
=

1

4

x²+

1

4

（64+x²-16x）
=

1

4

x²+16+

1

4

x²-4x
=

1

2

x²-4x+16
当AC=-

-4

2× 1 2

=4，
即BC=8-4=4cm时，两个等腰三角形的面积最小．

点评：本题考查了等腰直角三角形和二次函数的最值，将三角形的面积问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．