Question

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，∠DCB=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BD=2OB，CD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：
连接OC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠BCO=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB+∠BCO=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵BD=2BO，OB=OC，
∴BD=2OC，
设OC=x，则DO=3x，
∵∠OCD=90°，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：x²+4²=（3x）²，
解得：x=，
⊙O的半径是．
分析：（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠DCB+∠BCO=∠OCD=90°，根据切线判定推出即可；
（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理的应用，用了方程思想．