Question

如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连接CE，AC=CE．
（1）求证：AD=BC；
（2）在上述条件下，如图2，延长AD、EC交于点G，若将AE翻折，点E与点G刚好重合，折痕为AF，且GC：CE=3：5，AE=2

10

，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）得出平行四边形DCEB，推出BD=CE=AC，根据等腰梯形的判定推出即可．
（2）过C点作CH⊥AE于点H，根据平行线分线段定理（或相似三角形的性质和判定）求出DC、AB、CH长，求出GE，根据等腰三角形性质求出GF，根据勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴DC∥BE，
∵DC=BE，
∴四边形DCEB是平行四边形，
∴CE=BD，
∵AC=CE，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是梯形，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC．
（2）解：
由点E与点G刚好重合，折痕为AF可知，三角形GAE为等腰三角形，且AG=AE，AF是三角形GAE的高线，
过C点作CH⊥AE于点H，
∵GC：CE=3：5，DC∥AB，
∴△GDC∽△GAE
∴

GD

DA

=

3

5

，
又∵四边形DCEB是平行四边形，
∴BD∥CE，
∴△ADB∽△AGE，
∴

BE

AB

=

DG

AD

=

3

5

，
∵AE=2

10

，
∴AB=

5

4

10

，DC=BE=

3

4

10

，
∵四边形ABCD是梯形，
∴BH=

1

2

（ AB-CD）=

1

4

10

，BC=AD=AB=

5

4

10

，
∴在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH=4

15

，
∴EH=BE+BH=

10

∴在Rt△CEH中，由勾股定理得：CE=5，
∴CG=3，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF=

(2 10 )2-42

=2

6

．

点评：本题考查了等腰梯形的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．