Question

已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

Answer 1

考点：

切线的判定；全等三角形的判定与性质

分析：

（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：

（1）证明：连接OB，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ABC=90°，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠ACB，

∵∠PBA=∠ACB，

∴∠PBA=∠OBC，

即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，

∴OB⊥PB，

∵OB为半径，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，

∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，

∴∠POB=∠OBC=∠OCB，

∵∠PBO=∠ABC=90°，

∴△PBO∽△ABC，

∴=，

∴=，

r=2，

即⊙O的半径为2．

点评：

本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，用了方程思想．