题目内容

设实数m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则有（　　）
A、
m=2
n=2
B、
m=2
n=-2
C、
m=-2
n=2
或
m=2
n=-2
D、
m=-2
n=2
分析：观察m2n2+m2+n2+10mn+16=0等式要求m、n的值，只需将m2n2+m2+n2+10mn+16=0转化为（mn+4）2+（m+n）2=0，再根据非负数的性质，可确定
mn+4=0
m+n=0
，解得m、n即为所求值．
解答：解：∵m2n2+m2+n2+10mn+16=0，
∴（m2n2+8mn+16）+（m2+2mn+n2）=0，
∴（mn+4）2+（m+n）2=0，
又∵（mn+4）2≥0，（m+n）2≥0，
∴（mn+4）2=0，（m+n）2=0，
即
mn+4=0
m+n=0
，
解得
m=2
n=-2
或
m=-2
n=2
．
故选C．
点评：本题考查完全平方式的应用、非负数的性质．解决本题的关键是运用完全平方式将m2n2+m2+n2+10mn+16=0转化为（mn+4）2+（m+n）2=0，得到方程
mn+4=0
m+n=0
，进而求出m、n的值．
练习册系列答案
相关题目
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：a+b+2c=1，a2+b2+6c+
3
2
=0，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c，
设a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t①
∵a2+b2+6c+
3
2
=0②
将①代入②得：(
1-2c
2
+t)2+(
1-2c
2
-t)2+6c+
3
2
=0
整理得：t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0，∴t=0，c=-1
将t，c的值同时代入①得：a=
3
2
，b=
3
2
．∴a=b=
3
2
，c=-1．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y=m，则可设x=
m
2
+t，y=
m
2
-t，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求a，b，c的值．
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
3
2
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
5
2
=0．∴ab=2c2+c+
5
4
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
5
4
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
5
4
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
9
4
=0．∴t1=t2=
3
2
，即a=b=
3
2
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t．①
∵a2+b2+6c+
3
2
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2(
1-2c
2
+t)(
1-2c
2
-t)+6c+
3
2
=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
3
2
，b=
3
2
．a=b=
3
2
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
m
2
+t，y=
m
2
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．

设实数m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则有


  1. A.
    数学公式
  2. B.
    数学公式
  3. C.
    数学公式或数学公式
  4. D.
    数学公式

设实数m、n满足m2n2＋m2＋n2＋10mn＋16＝0，则有 [    ]

 A.;     B.;

  C.;     D.

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