题目内容

已知∠A是△ABC的一个内角，抛物线 $数学公式$ 的顶点在x轴上．
（1）求∠A的度数；
（2）若S_△ABC= $数学公式$ ，sinB= $数学公式$ ，求AB边的长．

解：（1）∵抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在x轴上，
∴ $\text{[math]}$ =0，
解得，cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
又∵∠A是△ABC的一个内角，
∴0＜∠A∠180°，∴0＜ $\text{[math]}$ ＜90°，
∴ $\text{[math]}$ =45°，即∠A=90°；

（2）

∵sinB= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BC=3AC；
又∵S_△ABC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ AB•AC=4 $\text{[math]}$ ，
∴AC= $\text{[math]}$ ；
∵AB²+AC²=BC²（勾股定理），
∴AB=4 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用二次函数的定点坐标公式（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、已知条件“抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在x轴上”可以推知 $\text{[math]}$ =0；然后根据∠A的取值范围可以求得∠A的度数；
（2）由直角三角形中三角函数的定义求得BC=3AC；然后由三角形的面积公式求得AC= $\text{[math]}$ ；最后利用勾股定理可以求得AB的长度．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．x轴上的点的纵坐标均为零．