Question

如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点，
思考
如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α。
当α=______度时，点P到CD的距离最小，最小值为______。
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=_______度，此时点N到CD的距离是_____。
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转。
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围。（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=）

Answer 1

解：思考： 根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案， 当α=90度时，点P到CD的距离最小， ∵MN=8， ∴OP=4， ∴点P到CD的距离最小值为：6-4=2， 故答案为：90，2；
探究一： ∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止， 如图2， ∵MN=8，MO=4，OY=4， ∴UO=2， ∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是2；
探究二（1）由已知得出M与P的距离为4， ∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4， 从而点P到CD的最小距离为6-4=2， 当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切， 此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°； （2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°， 如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小， 连接MP，作HO⊥MP于点H， 由垂径定理，得出MH=3， 在Rt△MOH中，MO=4， ∴sin∠MOH=， ∴∠MOH=49°， ∵α=2∠MOH， ∴α最小为98°， ∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。