Question

如图，已知一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求∠CAO的度数；
（2）若将直线y=-x+2沿x轴向右平移两个单位，试求出平移后的直线的解析式；
（3）若正比例函数y=kx（k≠0）的图象与y=-x+2的图象交于点B，且∠ABO=30°，求AB的长及点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）对于一次函数解析式，分别令y与x为0，求出对应x与y的值，确定出A与C坐标，得到AO=CO，即三角形AOC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CAO的度数；
（2）利用平移规律：“左加右减”，即可确定出平移后的直线解析式；
（3）根据题意画出图形，利用锐角三角函数关系以及30°所对的边等于斜边的一半，得出AB的长，进而即可求出B的坐标，进而求出AB的长．

解答：解：（1）对于一次函数y=-x+2，
令x=0，求出y=2；令y=0，求出x=2，
∴A（2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）利用平移规律得：平移后的直线解析式为y=-（x-2）+2=-x+4；

（3）根据题意画出相应的图形，过O作OD⊥AB，于点D，
∵一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴可求出A（2，0），C（0，2），
∴Rt△AOC是等腰直角，
∴DO=CD=AD，
∵CO=OA=2，
∴CD=DO=AD=

2

，
在△DOB中，∠DBO=30°，
∴BO=2

2

，
∴BD=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

，
∴AB=

6

+

2

，
∴B点纵坐标为：

6 + 2

2

=

3

+1，
∴B点横坐标为：-[（

3

+1）-2]=1-

3

，
∴B（1-

3

，1+

3

），
同理可得出：AB′=

6

-

2

，
∴B′点横坐标为：

6 - 2

2

+2=

3

+1，
B′点纵坐标为：-

6 - 2

2

=-

3

+1，
∴B′（1+

3

，1-

3

）．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，以及平移规律，确定出直线OB解析式是解第三问的关键．