Question

已知A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）直接写出与△A P Q相似的三角形：

 

；
（3）若AP=6，

AQ

BQ

=

3

5

，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）由∠APC=∠BPC=60°及圆周角定理可求出∠BAC=∠ABC=60°，由三角形内角和定理可得∠ACB=60°，故此三角形是等边三角形；
（2）根据圆周角定理及相似三角形的判定定理即可解答；
（3）过B作BD∥PA交PC于D，根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可求出△AQP∽△BQD，再由相似三角形的相似比及等腰三角形的性质即可解答．

解答：解：（1）△ABC是等边三角形．（1分）
∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，（（2分） ）
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；（1分）

（2）△CBQ和△CPB．（2分）（写出一个给1分）

（3）如图，过B作BD∥PA交PC于D，
则∠BDP=∠APC=60°．
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，
∴

AQ

QB

=

AP

BD

，（2分）
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD．
∴

AQ

QB

=

AP

PB

，
∴

3

5

=

6

PB

，
∴PB=10．（2分）

点评：此题比较复杂，涉及到圆周角定理、相似三角形的性质及判定定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形．