Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，点E在边 AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且EF= AB，DG= AE，连接DE、FG相交于点H.

(1)若，如图(1)，求∠EHF的度数（提示：连接CG，CF）；

(2)若，如图(2)，求tan∠EHF的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）

【解析】分析：（1）连接FC和CG（如图1），先证明△AED≌△DGC，同理△FBC≌△EAD，再证明△GFC是等腰直角三角形即可．

（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM，先证明△DGM∽△AED，得∠ADE=∠DMG， ==，再证明△FMG是直角三角形即可．

详解：（1）连接FC和CG（如图1）．

∵四边形ABCD为正方形，AE=BF=GD，∴AB=BC=DC=AD，∠A=∠ABC=∠FBC=∠CDG=90°．在△EAD和△GDC中， ，∴△AED≌△DGC（SAS），同理△FBC≌△EAD，∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，∴ED∥FC，∴∠EHF=∠GFC．

又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴∠GFC=∠FGC=45°，∴∠EHF=45°；

（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM．

∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴四边形EFMD为平行四边形，∴EF=DM，DE=FM，∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．

∵EF=CD，GD=AE，∴．

∵∠A=∠GDM=90°，∴△DGM∽△AED，∴∠ADE=∠DMG， ==

∵∠DMG+∠MGD=90°，∴∠ADE+∠DGM=90°，∴GM⊥DE．

∵ED∥FM，∴GM⊥FM，∠EHF=∠GFM，∴tan∠GFM===．