Question

已知α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m的值．

Answer 1

解：∵一元二次方程（m-1）x²-x+1=0有两个实数根α，β．
∴，
解之得m≤且m≠1，
而α+β=，αβ=，
又（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1=m+1，
∴+=m，
解之得m₁=-1，m₂=2，经检验m₁=-1，m₂=2都是原方程的根．
∵m≤，
∴m₂=2不合题意，舍去，
∴m的值为-1．
注：如果没有求出m的取值范围，但在求出m值后代入原方程检验，舍去m=2也正确．
分析：α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，有α+β=，αβ=，
且（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1代入可得（α+1）（β+1）=m+1．即可得到关于m的方程，从而求解．
点评：本题考查一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．利用根与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题，是解决本题的关键．