Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与直线y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为Q（2，-1）．点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设P点的横坐标为t，PD的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点P的坐标．
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用顶点式将Q点代入进而得出抛物线解析式；
（2）首先求出AB所在直线解析式，进而表示出P，D的坐标，即可得出PD长度的关系式，求出P点坐标即可；
（3）分别根据①若AP是平行四边形的一条边时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F，②当AP是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、E、F 为顶点的平行四边形，求出F点坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设y=a（x-2）²-1，将C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）²-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵直线y=kx+b过（3，0），（0，3），则：

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴AB的解析式为：y=-x+3．
由题意有P（t，t²-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t²-4t+3）=-t²+3t，
∴当t=

3

2

时，l取最大值，
此时P点的坐标为[

3

2

，（

3

2

）²-4×（

3

2

）+3]，
即P（

3

2

，-

3

4

）．

（3）①若AP是平行四边形的一条边时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F．
此时当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形．
∵P（

3

2

，-

3

4

），
∴可令F（x，

3

4

）或F（x，-

3

4

）．
∴x²-4x+3=

3

4

或x²-4x+3=-

3

4

，
解之得x₁=

4- 7

2

，x₂=

4+ 7

2

，x₃=

5

2

，x₄=

3

2

．
但当x₁=

3

2

时，F点与P点重合，不能构成平行四边形．
满足条件的F点有三个，即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃（

5

2

，-

3

4

）；
②当AP是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、E、F 为顶点的平行四边形，
则有PF∥AE，即F₂的纵坐标与P点的纵坐标相同，即x²-4x+3=-

3

4

，
此种情况在①中已求得F₃的坐标．
综上所述，满足条件的F点的坐标有三个，
即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃

5

2

（，-

3

4

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质以及顶点式求二次函数解析式等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．