Question

若直线l：y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y=

k

x

的图象上．
（1）求反比例函数y=

k

x

的解析式；
（2）将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜45°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数y=

k

x

的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为9-

3 3

2

时，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）求出点A、B的坐标，然后根据坐标原点O与O′关于直线l对称求出点O′，再利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意作出草图，设点P的坐标为（0，a），先求出点Q的坐标，然后分别求出梯形O′BPQ的面积与正方形AOBO′的面积，再根据S_{四边形APQO′}=S_{梯形O′BPQ的面积}+S_{正方形AOBO′}-S_△AOP，列式计算即可求出a的值为3

3

，根据三角函数求出∠PAO=60°，∠BAO=45°，两角相减即可得到θ的值．

解答：解：（1）当x=0时，y=0+3=3，
当y=0时，x+3=0，解得x=-3，
∴点A、B的坐标分别为A（-3，0），B（0，3），
∵坐标原点O与O′关于直线l对称，
∴O′（-3，3），
∴3=

k

-3

，
解得k=-9，
∴反比例函数y=

k

x

的解析式为：y=-

9

x

；

（2）设点P的坐标为（0，a），
∵PQ∥x轴，
∴a=-

9

x

，
解得x=-

9

a

，
∴点Q的坐标为（-

9

a

，a）；
S_{四边形APQO′}=S_{梯形O′BPQ的面积}+S_{正方形AOBO′}-S_△AOP=

1

2

×（

9

a

+3）（a-3）+3×3-

1

2

×3×a，
=-

27

2a

+9，
∵四边形APQO′的面积为9-

3 3

2

，
∴-

27

2a

+9=9-

3 3

2

，
解得a=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

AO

=

3 3

3

=

3

，tan∠BAO=

BO

AO

=

3

3

=1，
∴∠PAO=60°，∠BAO=45°，
θ=∠PAO-∠BAO=60°-45°=15°．
故答案为：15°．

点评：本题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意不规则四边形APQO′的面积的表示是解题的关键，也是解本题的难点．