Question

如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为x=t，直线b的解析式为y=x，直线c的解析式为y=-

1

2

x+2，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是

 

．

Answer 1

分析：由于x=t，分别代入y=x，y=-

1

2

x+2，可得E点坐标为（t，-

1

2

t+2），D点坐标为（t，t）．由于E在D的上方，
故DE=-

1

2

t+2-t=-

3

2

t+2，且t＜

4

3

．
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
由于x=t是动直线故应分三种情况讨论：
①t＞0时，PE=DE时，PE，DE，PD，分别为斜边的情况；-

3

2

t+2=t，求出P点坐标；
②若t＜0，PE=DE和PD=DE时；
③若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边．

解答：解：∵当x=t时，y=x=t；当x=t时，y=-

1

2

x+2
=-

1

2

t+2．
∴E点坐标为（t，-

1

2

t+2），D点坐标为（t，t）．
∵E在D的上方，
∴DE=-

1

2

t+2-t
=-

3

2

t+2，且t＜

4

3

．
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
t＞0时，PE=DE时，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

，-

1

2

t+2=

8

5

．∴P点坐标为（0，

8

5

）．
①若t＞0，PD=DE时，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

．∴P点坐标为（0，

4

5

）．
②若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴-

3

2

t+2=2t
∴t=

4

7

，DE的中点坐标为（t，

1

4

t+1），∴P点坐标为（0，

8

7

）．
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-

3

2

t+2=-t，t=4＞0
（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．
③若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-

3

2

t+2=-2t，
∴t=-4，

1

4

t+1=0，∴P点坐标为（0，0）
综上所述：当t=

4

5

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为或（0，

4

5

）；
当t=

4

7

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

7

）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

点评：本题把动直线与等腰直角三角形的性质结合起来，解答此类问题时要注意分类讨论，不要漏解．