Question

【题目】若关于的二次函数（为常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，其图象的顶点为点是坐标原点．

（1）若、、，求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；

（2）如图1，若，，为直角三角形，是以的等边三角形，试确定的值；

（3）设为正整数，且，，为任意常数，令，，如果对于一切实数，始终成立，求的值．

Answer 1

【答案】（1），对称轴；（2）；（3）或．

【解析】

（1）函数的表达式为：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8），即可求解；

（2）设，，，由，得到，结合一元二次方程根与系数的关系，得到；由为边长2的等边三角形，则，得到；由，得到，联立方程组，即可求出a、b、c的值.

（3）先表示出解析式，求出点A、B的横坐标，得到AB=x2-x1=|mt+3|≥|2t+n|，对于一切实数t，上式都成立，则必然存在|mt+3|=|2t+n|，结合一元二次方程根的判别式即可求解．

解：（1）设函数的表达式为：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8），

把点C代入，则-8a=3，

解得：，

∴，

∴；

∴对称轴；

（2）设，，，

∵为直角三角形，且，

∴，

∴，

∴，

令，，

则，

∴，

∴①；

又∵为边长2的等边三角形，

∴抛物线顶点坐标中纵坐标为，且．

∴，

∴②；

又∵

∴③

由①②③得：，

解得：；

（3）根据题意，解析式：．

令，，

∴，

∴，，

∴AB=；

∴（两边平方），

∴，

∴，

∴恒成立．

∴，

∴且为正整数

∴或．