Question

在△ABC中，∠A=40°
（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P=

 

，∠A与∠P之间的数量关系是

 

．为什么有这样的关系？请证明它；
（2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P=

 

，∠A与∠P之间的数量关系是

 

；
（3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P=

 

，∠A与∠P之间的数量关系是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠B和∠C，再根据角平分线的性质和三角形内角和是180°求出∠P=180°-

1

2

（∠B+∠C）；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和以及叫平分线的性质可求出∠P，可得∠A与∠P之间的数量关系；
（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求得：∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，在△BCP中根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解．

解答：解：（1）∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
∴

1

2

（∠ABC+∠C）=

1

2

×140°=70°，
∴∠P=180°-

1

2

（∠ABC+∠C）=110°．
∠A与∠P之间的数量关系是∠P=90°+

1

2

∠A；

（2）∵

1

2

∠ACE=

1

2

∠ABC+∠P，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
∴

1

2

（40°+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
∴∠P=20°．
∠A与∠P之间的数量关系是∠P=

1

2

∠A；

（3）∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=90°+

1

2

∠A．
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴90°+

1

2

∠A+∠P=180°，即∠P=90°-

1

2

∠A．

点评：①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．