Question

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．

（1）如图1，请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．直接写出结论．
（2）若点P在DC的延长线上（如图2），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系，并证明．
（3）若点P在CD的延长线上呢（如图3）？请分别直接写出结论并简要说明理由．

Answer 1

解：（1）BE=EF+DF， 
  （2）DF=BE+EF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
 ∴∠AEB=∠DFA=90°，
 ∴∠BAE+∠ABE=90°，
 ∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中：，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
 ∴BE=AF，AE=DF，
 ∵AE=AF+EF，
∴DF=EB+EF．  
（3）EF=BE+DF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
 ∴AB=AD，∠BAD=90°，
 ∴∠1+∠3=90°，
 ∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△ABE和△DAF中：，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
 ∴BE=AF，AE=DF（全等三角形对应边相等），
 ∵EF=AF+AE，
∴EF=EB+FD（等量代换）