Question

【题目】如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF．点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．

(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系：__________；

(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图2所示，其他条件不变，(1)中的结论是否成立，请说明理由．

(3)若DG＝，AB＝4．

①把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，连接EM，如图3所示，其他条件不变，计算EM的长度；

②若把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周，请直接写出EM的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）成立，具体利用见解析；（3）①；②．

【解析】

（1）证明，得到HM=EM，根据等腰之间三角形的性质即可得到；

（2）连接DF，MG，作于N，可证得，得到ME=MG，，再由M为BF的中点，，得到GN=NC，进一步可得到，又，，再由角度的关系可得到，即可得到结论．

（3）①连接BE，CE，过点E作于点H，根据正方形的性质可推出，，证明，进一步可得到△CME是等腰直角三角形，根据之间三角形的性质求解即可．

②由条件可证的△CME为等腰直角三角形，当CE最大时，EM最大，当点E旋转至D点下方时，且C，D，E共线时CE最大，此时CE=，再根据勾股定理即可求解．

（1）结论：．

理由：如图1中，

∵,，

∴，

在△FME和△BMH中，

，

∴，

∴HM=EM，EF=BH．

∵CD=BC，

∴CE=CH,

又∵，HM=EM，

∴．

（2）．

理由：如图，连接DF，MG，作于N，

在△EDM和△GDM中，

，

∴，

∴ME=MG，，

∵M为BF的中点，，

∴GN=NC，

又，

∴MC=ME，

∴MC=MG，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（1）中结论成立．

（3）①解：如图，连接BE，CE，过点E作于点H，

∵四边形ABCD和四边形EDGH是正方形，

∴，，

∴点B、E、D在同一条直线上，

∵，，M为BF的中点，

∴，，

∴CM=ME，

又∵，

∴，

，

∴，，

∴,

∴，

∴,

∴△CME是等腰直角三角形，，

在Rt△CME中，，，

∴EH=DH=1，

∴CH=4-1=3，

在Rt△CHE中，，

∴ ．

②由上问可知一直成立，

∴△CME为等腰直角三角形，

∴当CE最大时，EM最大，

当点E旋转至D点下方时，且C，D，E共线时CE最大，

此时CE=．

设CM=EM=x，

则，

解得，

∴EM的最大值为．