Question

已知a、b、c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，
（1）求证：关于x的方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0有两个不相等的实数根；
（2）若c=3a，x₁，x₂是这个方程的两根，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可，（2）根据方程的两个实数根为x₁和x₂，写出两根之和和两根之积，即可求出x₁²+x₂²的值．

解答：解：（1）把方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0化成一般形式为（c-a）x²-2

2

bx+a+c=0，
故方程根的判别式△=8b²-4a²+4c²，
∵a、b、c是Rt△ABC三边的长，
∵a＜b＜c，
∴△=8b²-4a²+4c²＞0，
∴方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=

2 2 b

c-a

，x₁•x₂=

a+c

c-a

，
∵c=3a，
∴x₁+x₂=

2 b

a

，x₁•x₂=2，
∴x₁²+x₂²=

2b2

a2

-4．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式的知识点，熟练掌握若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，方程总有两个实数根，则一元二次方程根的判别式△＞0恒成立．