Question

22、如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
求证：PE+PF=BD．

Answer 1

分析：根据已知，过P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得
PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD．．

解答：解：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF，
∴四边形PGDF是平行四边形；
又∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形
∴PF=GD①
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C
又∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴∠BPG=∠ABC
再∵∠PEB=∠BGP=90°
BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．

点评：此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGDF，再证△BPE≌△PBG．