Question

如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分

∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB²=AF?AC，cos∠ABD=，AD=12．

⑴求证：△ANM≌△ENM；

⑵求证：FB是⊙O的切线；

⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

Answer 1

.⑴证明：∵BC是⊙O的直径

∴∠BAC=90^o

又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，

∴AM=ME，∠AMN=EMN

又∵MN=MN，

∴△ANM≌△ENM

⑵∵AB²=AF?AC

∴

又∵∠BAC=∠FAB=90^o

∴△ABF∽△ACB

∴∠ABF=∠C

又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90^o

∴FB是⊙O的切线

⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，

又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，

∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，

∴AM=ME=EN=AN

∴四边形AMEN是菱形

∵cos∠ABD=，∠ADB=90^o

∴

设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理

而AD=12，∴x=3

∴BD=9，AB=15

∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15

∴DE=BE-BD=6

∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE

∴△BND∽△BME，则

设ME=x，则ND=12-x，，解得x=

∴S=ME?DE=×6=45