Question

已知D是△ABC的边上一点，AD：DC=2：1，∠C=45°，∠ADB=60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．

Answer 1

证明：如图，⊙O为△BCD的外接圆．
过B作BE⊥AD，E为垂足，不妨设AD=2，CD=1，设ED=x，
∵∠C=45°，
∴BE=x+1，
∵∠ADB=60°，
∴BE=DE=x，即x=x+1，
∴x=，
则BE=，AE=AD-ED=2-x=，
在RT△AEB中，AB²=BE²+AE²=（）²+（）²=6，
而AD•AC=2×3=6
∴AB²=AD•AC，而∠A公共，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
过B作直径BF，则∠ADF=90°，
连DF，则∠F=∠ACB=45°，
∴∠DBF=45°，
∴∠ABF=90°，
∴AB是⊙O的切线
即AB是△BCD的外接圆的切线．
分析：如图，过B作BE⊥AD，E为垂足，不妨设AD=2，CD=1，设ED=x，由∠C=45°，∠ADB=60°，可得到x=x+1，求出x，利用勾股定理可求出AB=6，因此得到AB²=AD•AC，△ABD∽△ACB，∠ABD=∠ACB=45°，再证明∠ABF=90°，过B作直径BF即可得到．
点评：本题考查了圆的切线的判定方法．若直线与圆有唯一的公共点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．