Question

如图，在直角坐标系中，以点A（

3

，0）为圆心，以2

3

为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．
（1）求D点坐标．
（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax²+bx+c上，求这个抛物线的解析式．
（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD，构造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=

3

，AD=2

3

，根据勾股定理就可以求出AD的长，求出D的坐标．
（2）求出B、C、D的坐标，用待定系数法设出一般式解答；
（3）求出抛物线交点坐标，连接AP，则△APM是直角三角形，且AP等于圆的半径，根据三角函数就可以求出AM的长，已知OA，就可以得到OM，则M点的坐标可以求出；同理可以在直角△BNM中，根据三角函数求出BN的长，求出N的坐标，根据待定系数法就可以求出直线MN的解析式．将交点坐标代入直线解析式验证即可．

解答：解：（1）连接AD，得
OA=

3

，AD=2

3

∴OD=

AD2-OA2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3
∴D（0，-3）．

（2）由B（-

3

，0），C（3

3

，0），D（0，-3）三点在抛物线y=ax²+bx+c上，
得

0=3a- 3 b+c 0=27a+3 3 b+c -3=c

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

∴抛物线为y=

1

3

x2-

2

3

3

x-3．

（3）连接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2

3

∴AM=4

3

∴M（5

3

，0）
∵ON=MO•tan30°=5

3

•

3

3

=5
∴N（0，-5）
设直线MN的解析式为y=kx+b，由于点M（5

3

，0）和N（0，-5）在直线MN上，
则

5 3 k+b=0 b=-5

，
解得

b=-5 k= 3 3

∴直线MN的解析式为y=

3

3

x-5
∵抛物线的顶点坐标为（

3

，-4），
当x=

3

时，y=

3

3

x-5=

3

3

×

3

-5=-4
∴点（

3

，-4）在直线y=

3

3

x-5上，
即直线MN经过抛物线的顶点．

点评：此题将用待定系数法求函数解析式和圆以及存在性问题相结合，考查了同学们的实际应用能力，有一定难度．