Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，BC=6，点D在边AC的三等分点处，连接BD，E为AB中点，F为BD中点，则△CEF的周长为

3

2

+

13

+1

．

Answer 1

分析：CE是直角△ABC斜边AB上的中线，CF是直角△BCD斜边DB上的中线．EF是△ABD的中位线，所以由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、三角形中位线定理来求△CEF的周长．

解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，BC=6，
∴AC=BC=6，AB=

2

BC=6

2

．
∵点D在边AC的三等分点处，
∴AD=

1

3

AC=2，CD=4．
∴在直角△BCD中，BD=

CD2+BC2

=

42+62

=2

13

．
又E为AB中点，F为BD中点，
∴CE=

1

2

AB=3

2

，CF=

1

2

BD=

13

，EF=

1

2

AD=1，
∴△CEF的周长为：CE+CF+EF=3

2

+

13

+1．
故答案是：3

2

+

13

+1．

点评：本题综合考查了勾股定理、三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．