Question

7．如图△ABC是等边三角形

（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE即可证明．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：AE+CE=BE．
∵∠BAD+∠DAC=60°，∠CAE+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∴BE=BD+DE=AE+CE，∠BEC=60°．

点评 本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．