Question

8．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC-∠DCE；④S_△EDF=S_△BCF，其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根据平行线性质求出∠ABC=∠ADC，得出平行四边形ABCD，即可推出AB∥CD；
②根据等腰三角形性质求出DE⊥AB，然后根据平行线的性质即可推出DE⊥CD；
③由∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BD=BC，进而由等边对等角可得：∠BDC=∠BCD，然后由AD∥BC，可得∠ADB=∠DBC，然后由角的和差计算及等量代换可得：∠ADC-∠DCE=∠DBC+∠BCF，然后根据外角的性质可得：∠DFC=∠DBC+BCF，进而可得：∠DFC=∠ADC-∠DCE；
④根据等底等高的三角形面积相等即可推出S_△EDF=S_△BCF．

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠A=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠A=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，
∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，
∴∠ADC-∠DCE=∠DBC+∠BCD-∠DCE=∠DBC+∠BCF，
∵∠DFC=∠DBC+BCF，
∴∠DFC=∠ADC-∠DCE；
∵AB∥CD，
∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，
∴由三角形面积公式得：S_△BED=S_△EBC，
都减去△EFB的面积得：S_△EDF=S_△BCF，
∴①②③④都正确，
故选D．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用，关键是推出AB∥CD．