Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）连接PD、PQ、DQ，求当t=1时，△PQD的面积S．
（2）试求当点P在BC上时S的最小值及当点P在CD上时S的最大值；
（3）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接求△PQD的面积较麻烦，考虑间接求法，即割补法．
（2）仿照第（1）小题可求出当P点在BC上时S关于t的函数关系式，然后根据二次函数性质求最小值；当点P在CD上时，S可直接由三角形面积公式求得，然后根据一次函数性质，结合t的取值范围，求最大值．
（3）△PQD是等腰三角形有三种情况，需分别讨论．然后根据每种情况特点，结合已知条件，找出关于t的相等关系，通过解方程，求出t．

解答：解：（1）如图1，当t=1时，AQ=1cm，BQ=4-AQ=3（cm），BP=CP=2cm．
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD，
=4²-

1

2

×4×1-

1

2

×2×3-

1

2

×2×4=7（cm²）．

（2）①如图1，当0≤t≤2时，即点P在BC上时，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD
=16-

1

2

•4•t-

1

2

•2 t•（4-t）-

1

2

•（4-2 t）•4
=t²-2 t+8．
=（t-1）²+7．
∴当t=1时，S有最小值7．
②如图2，当2≤t≤4时，即点P在CD上时，DP=8-2 t．
S=

1

2

•（8-2 t）•4=16-4 t．
根据一次函数的性质，S随t的增大而减小，
∴当t=2时，S有最大值8．

（3）①如图3，若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2 t，
解得t=

4

3

．
②如图4，若PD=PQ，则PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得：t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合题意，舍去，
∴t=-4+4

2

．
③如图5，若DQ=PQ，则DQ²=PQ²，
即4²+t²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=0或t=2．
∴t=

4

3

或t=-4+4

2

或t=0或t=2时，△PQD是等腰三角形．

点评：此题主要考查了割补法求图形面积，利用一次函数、二次函数求最值，全等三角形的判别与性质，一元二次方程，等腰三角形，勾股定理，方程思想，数形结合思想等．