Question

如图，已知点A（0，1），C（4，3），E(

15

4

，

23

8

)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax²+bx+1以P为顶点．
（1）求证：A、C、E三点共线；
（2）设抛物线y=ax²+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，试确定a、b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）说明点A、C、E在一条直线上，只要求出过A、C的直线的解析式，然后判断E是否满足函数的解析式就可以；
（2）连接GA、FA，已知△GAO与△FAO的面积差为3，而这两个三角形的高相同是OA的长，等于1，因而就可以得到OG与OF的长度的一个关系式．抛物线y=ax²-6ax+1的顶点可以用a表示出来，顶点P在矩形ABCD的内部，即可以求出a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=

1

2

x+1，
将点E的坐标（

15

4

，

23

8

），代入y=

1

2

x+1中，左边=

23

8

，右边=

1

2

×

15

4

+1=

23

8

，
∵左边=右边，
∴点E在直线y=

1

2

x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；

（2）连接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴

1

2

GO•A0=

1

2

FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x₁，0），G（x₂，0），
则x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的两个根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁•x₂=

1

a

＜0，
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁=-

b

a

，
∴-

b

a

=6，
∴抛物线的解析式为：y=ax²-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-

2

9

＜a＜0①
由方程组

y=ax2-6ax+1 y= 1 2 x+1

，
得：ax²-（6a+

1

2

）x=0，
∴x=0或x=

6a+ 1 2

a

=6+

1

2a

，
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，
则有：0＜6+

1

2a

＜

15

4

，
解得：-

2

9

≤a＜-

1

12

，
综合①②，得-

2

9

＜a＜-

1

12

，
∵b=-6a，
∴

1

2

＜b＜

4

3

．

点评：本题综合运用了抛物线的顶点坐标的求法，以及一元二次方程的求解和韦达定理，及抛物线所经过的点，列方程组求a、b的值，难度较大．