Question

如图①，△ABC，△DBC，△EBC，△FBC…有公共边BC，而顶点A，D，E，F…都在一条直线上，我们规定这样的三角形叫同底共线的三角形．

（1）如图②，△ABC，△PBC，△DBC是同底共线三角形，若PD=2PA，△DOC的面积与△AOB的面积的差为3，△PBC的面积为5，求△DBC和△ABC的面积．
（2）如图②，当AP=

1

n

AD（n表示的正整数）时，S_△ABC=6n，S_△DBC=n（n+5），求S_△PBC
（3）如图③，在同底共线三角形△ABC，△DBC，△EBC，△FBC中，若满足AD：DE：EF=a：b：c，求△ABC，△DBC，△EBC，△FBC之间的关系．

Answer 1

分析：（1）小题分别作△ABC，△PBC，△DBC的高线AE，PF，DG，过A作底边BC的平行线，利用三角形的面积公式即可求出△DBC和△ABC的面积；
（2）先由已知得出PM=

1

n

DN，并求出△DBC的面积与△ABC的面积的差，再利用面积公式即可求出△PBC的面积；
（3）小题设△ABC的面积是s₁=x，△EBC的面积是s₃=y，△DBC的面积是s₂，△FBC的面积是s₄，把x、y当作已知，与（2）求法类似求出s₃和s₄，并计算出s₄-s₂ 和s₃-s₁的值，即可求出△ABC，△DBC，△EBC，△FBC之间的关系．

解答：解：（1）分别作△ABC，△PBC，△DBC的高线AE，PF，DG，过A作底边BC的平行线，交PF于M，交DG于N，则四边形AEGN是矩形．
在△DAN中，∵PM∥DN，
∴PM：DN=AP：AD=1：3，∴DN=3PM．
∵S_△DOC-S_△AOB=3，
∴S_△DBC-S_△ABC=3，
∴

1

2

•BC•DG-

1

2

•BC•AE=3，
∴

1

2

•BC•DN=3，
∴

1

2

•BC•3PM=3，
∴

1

2

•BC•PM=1．
又∵S_△PBC=5，
∴

1

2

•BC•（PM+MF）=5，
∴

1

2

•BC•PM+

1

2

•BC•MF=5，
∴

1

2

•BC•MF=5-1=4，
∴S_△ABC=

1

2

•BC•AE=

1

2

•BC•MF=4，S_△DBC=3+S_△ABC=7．

（2）解：由（1）知：

PM

DN

=

AP

AD

，
∵AP=

1

n

AD，
∴

PM

DN

=

1

n

，
∴PM=

1

n

DN，
∵S_△ABC=6n，S_△DBC=n（n+5），
设△ABC的面积是s₁，△DBC的面积是s₃，△PBC的面积是s₂，
则s₃-s₁=n²-n，
即

1

2

•BC•DG-

1

2

•BC•AR=n²-n，
∴

1

2

•BC•DN=n²-n，
∴s₂=

1

2

•BC•PF，
=

1

2

•BC•（PM+MF），
=

1

2

•BC•PM+

1

2

•BC•MF，
∵AE=MF，PM=

1

n

DN，
∴s₂=

1

2

•BC•

1

n

DN+

1

2

•BC•AE，
=

1

n

（n²-n）+6n
=7n-1．
故△PBC的面积是7n-1．

（3）解：设△ABC的面积是s₁=x，△EBC的面积是s₃=y，△DBC的面积是s₂，△FBC的面积是s₄，
过F做FH⊥BC交于H，
与（2）同法可求：FQ=

a+b+c

a+b

EN，s₂=

a

a+b

（y-x）+x，
s₄=

1

2

•BC•FH=

1

2

•BC•（FQ+AE），
=

1

2

BC•PQ+

1

2

BC•AE，
=

a+b+c

a+b

（y-x）+x，
∵s₃-s₁=y-x，
s₄-s₂=

b+c

a+b

（y-x），
s₄-s₂=

b+c

a+b

（s₃-s₁）．
故△ABC，△DBC，△EBC，△FBC之间的关系是s_△FBC-s_△DBC=

b+c

a+b

（s_△EBC-s_△ABC）．

点评：解此题的关键是巧妙地利用三角形的面积公式，用到的知识点是三角形的面积公式，矩形的性质，平行线分线段成比例定理．难度较大．