Question

如果16²+2¹¹+2ⁿ是完全平方数，则这样的自然数n的值是

1. A.
   不存在
2. B.
   只有一个
3. C.
   不只一个，但有有限个
4. D.
   有无限多个

Answer 1

B
分析：根据16²+2¹¹+2ⁿ是完全平方数，设16²+2¹¹+2ⁿ=（2⁴）²+2¹¹+2ⁿ=a²（a为整数），再根据完全平方公式变形即可求解．
解答：原式=16²+2¹¹+2ⁿ=（2⁴）²+2¹¹+2ⁿ=a²（a为整数），
∴48²+2ⁿ=a²
∴2ⁿ=a²-48²=（a+48）（a-48），
设a+48=2^m（1）
a-48=2^t（2）
∴m+t=n，
由（1）-（2）得：96=2^t（2^m-t-1）
∵2^t为偶数，2^m-t-1为奇数
而96=3×2⁵
∴2^m-t-1=3且2^t=2⁵
∴t=5，m=7
∴n=12
∴只有一个．
故选B．
点评：本题考查了完全平方公式，难度较大，关键是灵活运用完全平方公式进行解题．