Question

已知二次函数的图象经过原点及点（-

1

2

，-

1

4

），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为

y=-

1

3

x²+

1

3

x或y=x²+x．

．

Answer 1

分析：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（-1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（-

1

2

，-

1

4

）或（0，0）、（-1，0）、（-

1

2

，-

1

4

）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．

解答：解：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，
把（0，0）、（1，0）、（-

1

2

，-

1

4

）代入得

c=0 a+b+c=0 1 4 a- 1 2 b+c=- 1 4

，解方程组得

a=- 1 3 b= 1 3 c=0

，
则二次函数的解析式为y=-

1

3

x²+

1

3

x；
当图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0）时，把得

c=0 a-b+c=0 1 4 a- 1 2 b+c=- 1 4

，解方程组得

a=1 b=1 c=0

，
则二次函数的解析式为y=x²+x．
所以该二次函数解析式为y=-

1

3

x²+

1

3

x或y=x²+x．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），然后把二次函数图象上三个点的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用．