Question

（本小题满分9分）
如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点A、C，与y轴交于点B，A（，0），且△AOB～△BOC。

（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系式；
（2）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）y＝－
（2）m的值为或－1.解析:
解：（1）由题意，得B（0，3）
∵△AOB∽△BOC，
∴∠OAB＝∠OBC，.
∴.
∴OC＝4， ∴C（4，0）.
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OBC+∠OBA＝90°.
∴∠ABC＝90°.
∵y＝图象经过点A（－，0），C（4，0），
∴
∴y＝－.
（2）①如图1，当CP＝CO时，点P在以BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径.

∴∠BPM＝90°，  ∴PM∥AB
∴△CPM∽△CBA.
∴，得CM＝5.
∴m＝－1.
②如图2，当PC＝PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC＝2.5.
由△CPM∽△CBA，得CM＝.
∴m＝4－.
③当OC＝OP时，M点不在线段AC上.
综上所述，m的值为或－1.