Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，O为原点，ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E是BC边上一点，CE=3EB，⊙P过A、O、D三点，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B、D三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：DE是⊙P的切线；

（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）证明见解析； （3）点E'不在抛物线上，理由见解析；（4）N1（3，﹣），N2（5，），N3（﹣3，）．

【解析】分析：（1）先确定出点B的坐标，进而求出点D的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求出CE=3，利用两边对应成比例，夹角相等判断出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，结论得证；

（3）先利用旋转求出点E'的坐标，最后判定点E'是否在抛物线上；

（4）分三种情况，利用线段的中点坐标公式，和平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．

详解：（1）∵A（﹣2，0），AB=6，

∴B（4，0），

∴OB=4，

∵DO⊥AB，∠BAD=60°，

∴OD=OAtan60°=2，

∴D（0，2），

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，D；

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）A（﹣2，0），

∴OA=2，

在Rt△AOD中，∠BAD=60°，

∴OD=2，AD=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CAD=∠C=60°，CD=AB=6，BC=AD=4，

∵CE=3EB，

∴CE=3，

∴，，

∴，∵∠OAD=∠C，

∴△OAD∽△ECD，

∴∠ODA=∠EDC，

∵∠ODC=90°，

∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=∠EDC+∠ODE=90°，

∵点D在⊙P上，

∴DE是⊙P的切线；

（3）点E'不在抛物线上，理由：如图1，

∵∠ADE=90°，

∴点E'落在DA的延长线上，点C'落在y轴上，

∴C'（0，﹣6），

由旋转知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，

过点E'作E'H⊥DC'于H，

∴E'H=C'E'sin60°=，C'H=C'E'cos60°=，

∴OH=DC'﹣C'H﹣OD=，

∵点E'落在第三象限，

∴E'（﹣，2﹣），

当x=﹣时，y=﹣×（﹣）2+×（﹣）+2=﹣≠2﹣，

∴点E'不在抛物线上；

（4）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；

∴M（1，），

∵B（4，0），D（0，2），

设N（m，n），

∵以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，

①当BD与MN是对角线时，

∴（m+1）=×4，（n+）=×2，

∴m=3，n=﹣，

∴N1（3，﹣），

②当BM与DN是对角线时，同①的方法得，N2（5，），

③当BN与DM是对角线时，同①的方法得，N3（﹣3，）．