Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，试探索EF、BE、CF三条线段的关系；
（3）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE长．

Answer 1

分析：（1）由条件可以得出∠BAE=∠ACF，∠AEB=∠CFA，就可以得出△ABE≌△CAF；
（2）由△ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF；
（3）通过证明三角形△ABE≌△CAF就可以得出结论．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中

∠BAE=∠ACF ∠AEB=∠CFA AB=CA

∴△ABE≌△CAF（AAS）；

（2）EF=BE=CF．理由：
证明：∵△ABE≌△CAF，
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE；

（3）解：如图2，∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠BAE=∠ACF ∠AEB=∠CFA AB=CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF=10-3=7．
答：EF的长为7．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．