Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=1，∠B=30°，C是弦AB上一动点（不与A、B重合），连CO并延长交⊙O于点D，连AD．
（1）求弦AB长．
（2）当∠D=15°时，求∠BOD的度数．
（3）若△ACD与△BOC相似，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；
（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；
（3）因为△ACD与△BOC相似，然后由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求得答案．

解答：解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE=

1

2

AB，∠OEB=90°，
∵OB=1，∠B=30°，
∴BE=OB•cosB=1×

3

2

=

3

2

，
∴AB=

3

；
故答案为：

3

；
（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=15°，
∴∠DAB=45°，
∴∠BOD=2∠DAB=90°；
（3）
∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∵△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴∠D=30°
∴AC=

1

2

AB=

3

2

．

点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．