题目内容

如图，⊙O₁与⊙O₂相交，大圆⊙O₁的弦AB⊥O₁O₂，垂足是F，且交⊙O₂于点C，D，过B作⊙O₂的切线，E为切点，已知BE=DE，BD=m，BE=n，AC，CE的长是关于x的方程x²+px+q=0的两个根．
（1）求证：AC=BD；
（2）用含m，n的代数式分别表示p和q；
（3）如果关于x的方程qx²-（m²+mp）x+1=0有两个相等的实数根，且∠DEB=30°，求⊙O₂的半径．

解：（1）∵O₁F⊥AB，
∴FA=FB．
∵O₂F⊥CD，
∴FC=FD，
∴AC=BD；

（2）∵BE和⊙O₂切于点E，
∴BE²=BD•BC，
∴BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠BCE=∠DEB，∠B=∠B，
∴△CBE∽△EBD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵BE=DE，
∴CE=CB= $\text{[math]}$ ，
又∵AC=BD=m，

∴p=-（AC+CE）=-（m+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，q=AC•CE=m• $\text{[math]}$ =n²；

（3）∵方程qx²-（m²+mp）x+1=0有两个相等的实数根，
而p=- $\text{[math]}$ •q=n²，
∴△=[-（m²+mp）]²-4q=（-n²）²-4n²=0．
由n＞0，
解得n=2．
连接O₂D，O₂E．
又∵∠DEB=30°，∠BEO₂=90°，
∴∠O₂ED=60°，
∴△O₂ED是等边三角形，
∴O₂E=DE=BE=2，
即⊙O₂的半径是2．
分析：（1）由垂径定理可知FA=FB，FC=FD，所以AC=BD；
（2）由已知条件证明△CBE∽△EBD可得：BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，证明△CBE∽△EBD可得 $\text{[math]}$ ，因为BE=DE，所以CE=CB= $\text{[math]}$ ，又AC=BD=m，所以p=-（AC+CE）=-（m+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，q=AC•CE=m• $\text{[math]}$ =n²；
（3）因为方程qx²-（m²+mp）x+1=0有两个相等的实数根，所以△=[-（m²+mp）]²-4q=（-n²）²-4n²=0，连接O₂D，O₂E，证明△O₂ED是等边三角形，即可得到O₂E=DE=BE=2．
点评：本题考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、根的判别式的应用以及等边三角形的判定和性质，此题将两圆相交的条件以及和两圆相关的线段和角巧妙地结合起来，使之成为一个有机的整体，要充分利用它们之间的关系．