Question

如图，已知△ABC，∠ACB=90° ，AC=BC，点E、 F在AB上，∠ECF=45° ，　
（1）求证：△ACF∽△BEC 　　
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S

Answer 1

证明：（1） ∵ AC=BC，
∴ ∠A = ∠B 　　　　
∵ ∠ACB=90° ，
∴ ∠A = ∠B = 45°  ，
∵ ∠ECF= 45° ，
∴ ∠ECF = ∠B = 45° ，　　
∴ ∠ECF+∠1 = ∠B+∠1 　　
∵ ∠BCE = ∠ECF+∠1，∠2 = ∠B+∠1；　　
∴ ∠BCE = ∠2，　　
∵ ∠A = ∠B ，AC=BC，　　
∴ △ACF∽△BEC。　　　　　　　　　　　　　　　
　（2）∵△ACF∽△BEC
∴ AC = BE，BC = AF，　　
∴△ABC的面积：
S = AC·BC = BE·AF　
∴AF·BE=2S。