Question

已知：如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A=90°，CD=CB=2AD．点Q是AB边中点，点P在CD边上运动，以点P为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N．
（1）若点P与点D重合，点M在线段AQ上，如图（1）．求证：

3

MQ-CN=

1

4

BC．
（2）若点P是CD中点，点M在线段BQ上，如图（2）．线段MQ、CN、BC的数量关系是：

3

3

MQ+CN=

1

4

BC

，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥BC于E，可得四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等可得BE=AD，设AD=x，表示出CD=CB=2x，再求出CE=BE，再利用勾股定理列式求出DE，再根据等角的余角相等求出∠DAM=∠EDN，证明Rt△ADM和Rt△EDN相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入进行计算求出AM、EN的关系，再表示出MQ、CN并代入

3

MQ-CN整理即可得解；
（2）连接PQ，过点D作DE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，设AD=x，则CD=CB=2x，根据梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半求出PQ∥AD，PQ=

1

2

（AD+CB），再根据（1）得到DE的长，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PF∥DE，PF=

1

2

DE，根据同角的余角相等求出∠QPM=∠FPN，然后求出△PQM和△PFN相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出MQ和FN的关系，再表示出CN，整理即可得解．

解答：解：（1）如图1，过点D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD，
设AD=x，则CD=CB=2x，
∵CD=CB=2AD=2x，
∴CE=BE=2x-x=x，
∴在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=

CD2-CE2

=

(2x)2-x2

=

3

x，
∵∠MPN是直角，
∴∠MDE+∠EDN=90°，
又∵∠ADM+∠MDE=90°，
∴∠DAM=∠EDN，
∴Rt△ADM∽Rt△EDN，
∴

AD

DE

=

AM

EN

，
即

x

3 x

=

AM

EN

，
∴EN=

3

AM，
∵点Q是AB边中点，
∴AQ=

1

2

AB=

1

2

DE=

3

2

x，
∴MQ=AQ-AM=

3

2

x-AM，
∴

3

MQ-CN=

3

（

3

2

x-AM）-（x-

3

AM）=

3

2

x-

3

AM-x+

3

AM=

1

2

x，
∵CB=2x，
∴

1

2

x=

1

4

BC，
∴

3

MQ-CN=

1

4

BC；

（2）如图2，连接PQ，过点D作DE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，设AD=x，则CD=CB=2x，
∵点P是CD中点，点Q是AB的中点，
∴PQ∥AD，PQ=

1

2

（AD+CB）=

1

2

（x+2x）=

3

2

x，
同（1）可求，DE=

3

x，
∵点P是CD中点，
∴PF∥DE，PF=

1

2

DE=

3

2

x，CF=

1

2

CE=

1

4

x，
又∵∠QPM+∠MPN=∠FPN+∠MPN，
∴∠QPM=∠FPN，
∴△PQM∽△PFN，
∴

PQ

PF

=

MQ

FN

，
即

3 2 x

3 2 x

=

MQ

FN

，
∴FN=

3

3

MQ，
∴CN=CE-FN=

1

2

x-

3

3

MQ，
∵CB=2x，
∴

1

2

x=

1

4

BC，
∴

3

3

MQ+CN=

1

4

BC．
故答案为：

3

3

MQ+CN=

1

4

BC．

点评：本题是相似形综合题，主要利用了矩形的判定，同角的余角相等的性质，相似三角形的判定与性质，梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，综合性较强，但难度不大，作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．