Question

如图，△ABC中，∠BAC=90゜．AC=2AB．O为AC的中点，AD为高．OG⊥AC．交AD的延长线于G．OB交AD于F．OE上OB交BC于E．
（1）求证：△ABF≌△COE；
（2）求证：BC=CE+FG．

Answer 1

证明：（1）∵AC=2AB．D为AC的中点，
∴AB=AO=OC，
∵∠BAC=90°，OG⊥AC，
∴∠BAC=∠AOG=90°，
∴∠BAC+∠AOG=180°，
∴AB∥OG，
∴∠G=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠C=∠G，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，
∴∠BFA=∠OEC，
在△ABF和△COE中

∴△ABF≌△COE．

（2）证明：∵在△BAC和△AOG中

∴△AOG≌△BAC，
∴AG=BC，
∵△ABF≌△COE，
∴AF=CE，
∴BC=AG=FG+CE．
分析：（1）求出∠C=∠BAD=∠G，求出∠AFB=∠OEC，根据AAS推出即可；
（2）证△AOG≌△BAC，推出BC=AG，证△BAF≌△CEO，推出AF=CE，即可得出答案．
点评：本题考查了三角形外角性质，垂直定义，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．