Question

已知二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=x的图象如图所示，给出以下结论：
①b²-4ac＞0；
②a+b+c=1；
③当1＜x＜3时，ax²+（b-1）x+c＜0；
④二次函数y=ax²+（b-1）x+c的图象经过点（1，0）和（3，0）．
其中正确的有：________（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

②③④
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：①由图象可知：抛物线与x轴无交点，即△＜0
∴△=b²-4ac＜0，故此选项错误；
②由图象可知：抛物线过点（1，1）即当x=1时，y=a+b+c=1，故此选项正确；
③由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下方，
即当1＜x＜3时，ax²+bx+c＜x，
∴ax²+（b-1）x+c＜0，故此选项正确；
④由图象可知：二次函数抛物线与一次函数y=x都过点（1，1）和点（3，3）
∴当x=1时，a+b+c=1
当x=3时，ax²+bx+c=9a+3b+c=3
∴对二次函数y=ax²+（b-1）x+c，当x=1时，y=a+（b-1）+c=a+b+c-1=1-1=0；
当x=3时，y=9a+3（b-1）+c=9a+3b+c-3=3-3=0
∴二次函数y=ax²+（b-1）x+c的图象过点（1，0）和点（3，0），故此选项正确．
故答案为：②③④．
点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．