Question

如图，正方形ARCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动到M，C），以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长．
（2）连接OF，OP，求证：OF⊥OP．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为正方形，得到∠A与∠B都为直角，根据切线的判断方法，得到AD与BC都为圆的切线，又PF为圆O的切线，根据切线长定理即可得到FE=FA，PE=PB，根据等量代换的方法得到四边形CDFP的周长等于AD+BC+CD，根据正方形的边长为2，求出周长即可；
（2）连接OF，OP，OE，由AF，BP是⊙O的切线，PF是⊙O的切线，根据切线长定理即可得∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，又由∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，即可证得OF⊥OP．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四边形CDFP的周长为：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）证明：连接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切线，PF是⊙O的切线
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线长定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．