Question

已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC=45°时，线段DM与AE之间的数量关系是______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可证得△ABE∽△DBM，根据相似三角形的对应边成比例，即可得AE=DM；
（2）由∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得MD=AE，继而可得AE=2MD；
（3）①由△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得DM=cosαAE；
②首先连接AD，EP，设AD交CP于N，根据题意易证得△ABC是等边三角形，△ABE∽△DBM，继而可证得△BEP为等边三角形，然后在Rt△AEB中，利用余弦函数的定义求出cos∠EAB=，得出cos∠PCB=，再解Rt△ABD，求出AD=，解Rt△NDC，得到CN=，ND=，则NA=，然后过N作NH⊥AC，垂足为H．解Rt△ANH，求出NH=AN=，然后利用三角函数的定义，即可求得sin∠ACP的值．
解答：解：（1）如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴=，
∴AE=MD；

（2）由（1）知△DBM∽△ABE，
∴==cos∠ABC=cos60°=，
∴MD=AE，
∴AE=2MD；

（3）①由（1）知△DBM∽△ABE，
∴==cos∠ABC=cosα，
∴DM=cosα•AE；
②如图2，连接AD，EP，设AD交CP于N．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴==2，∠AEB=∠DMB，
∴BE=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=2，AB=7，
∴cos∠EAB=，cos∠PCB=cos∠EAB=．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，
在Rt△NDC中，CN==，ND==，
∴NA=AD-ND=．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=AN=，
∴sin∠ACP==．
故答案为AE=MD；AE=2MD；DM=cosα•AE．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．