题目内容
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=6cm，BC=13cm，点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动（不包含B、C两点），且∠APQ=∠B，射线PQ交CD（或CD的延长线）于点Q．设P点的运动时间为t．（1）如图①，当PQ交CD于Q时，求证：△ABP∽△PCQ；
（2）如图②，当PQ交CD的延长线于Q时，设DQ=y，请求出y与t之间的函数关系式；
（3）请问当时间t等于多少时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似？
分析：（1）根据∠BAP+∠B=∠APQ+∠QPC，∠APQ=∠B，利用等腰梯形的性质即可求证△ABP∽△PCQ
（2）利用△ABP∽△PCQ的对应边成比例，可得
=
，解得y即可．
（3）若△ABP∽△QPA，则
或
=
两种情况，再利用△ABP∽△PCQ的对应边成比例，解得t即可．
（2）利用△ABP∽△PCQ的对应边成比例，可得
| t |
| y+6 |
| 6 |
| 13-t |
（3）若△ABP∽△QPA，则
| AP |
| PQ |
| AB |
| BP |
| PQ |
| AP |
解答：解：（1）∵∠BAP+∠B=∠APQ+∠QPC，∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠QPC，
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ；
（2）由△ABP∽△PCQ，可得
=
，
点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动，设P点的运动时间为t，
∴
=
，
解得y=-
+
t-6；
（3）∵∠APQ=∠B，
∴若△ABP∽△QPA，
则
=
或
=
两种情况．
∵△ABP∽△PCQ，
∴
=
，
∴
=
=
或
=
=
，
=
或
=
，
解得t=6.5或t=4或t=9，
∴当t等于4或6.5或9时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似．
∴∠BAP=∠QPC，
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ；
（2）由△ABP∽△PCQ，可得
| BP |
| CQ |
| AB |
| PC |
点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动，设P点的运动时间为t，
∴
| t |
| y+6 |
| 6 |
| 13-t |
解得y=-
| t2 |
| 6 |
| 13 |
| 6 |
（3）∵∠APQ=∠B，
∴若△ABP∽△QPA，
则
| AB |
| BP |
| AP |
| PQ |
| AB |
| BP |
| PQ |
| AP |
∵△ABP∽△PCQ，
∴
| AP |
| PQ |
| AB |
| CP |
∴
| AB |
| BP |
| AP |
| PQ |
| AB |
| CP |
| AB |
| BP |
| PQ |
| AP |
| CP |
| AB |
| 6 |
| t |
| 6 |
| 13-t |
| 6 |
| t |
| 13-t |
| 6 |
解得t=6.5或t=4或t=9，
∴当t等于4或6.5或9时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似．
点评：此题主要涉及等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，但要采用分类讨论的思想，并且涉及到动点型，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．
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