Question

如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(0，3)，过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求当AD＋CD最小时点D的坐标；

(3)以点A为圆心，AD为半径作⊙A．

①证明：当AD＋CD最小时，直线BD与⊙A相切．

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：________．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)． 　　将(0，3)代入上式，得3＝a(0＋1)(0－3)．解得a＝－1． 　　所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)．即y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)连接BC，交直线l于点D． 　　因为点B与点A关于直线l对称， 　　所以AD＝BD． 　　所以AD＋CD＝BD＋CD＝BC． 　　由“两点之间，线段最短”的原理可知： 　　此时AD＋CD最小，点D的位置即为所求． 　　设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 　　由直线BC过点(3，0)，(0，3)，得0＝3k＋b，3＝b． 　　解得k＝－1，b＝3， 　　所以直线BC的解析式为y＝－x＋3． 　　由(1)知：对称轴l为x＝－＝1，即x＝1． 　　将x＝1代入y＝－x＋3，得y＝－1＋3＝2． 　　所以点D的坐标为(1，2)． 　　(3)①连接AD．设直线l与x轴的交点为点E． 　　由(1)知：当AD＋CD最小时，点D的坐标为(1，2)． 　　所以DE＝AE＝BE＝2． 　　所以∠DAB＝∠DBA＝45°． 　　所以∠ADB＝90°． 　　所以AD⊥BD． 　　所以BD与⊙A相切． 　　②(1，－2)．