题目内容

已知：正方形ABCD，点A、B在x轴上，直线y=mx+n（ $数学公式$ ＜n＜m）过点A、C交y轴于点E，S_△AOE=2S_{正方形ABCD}，抛物线y=ax²+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y=mx+n上，抛物线y与轴交于点F．
（1）求a•b•c的值；
（2）求S_△AGF的范围．

解：（1）直线AE中，y=mx+n，则E（0，n）；
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，则tan∠CAB=1，
∴OA=OE=n，即A（-n，0）；
△AOE中，AO=n，OE=n，
则S_△AOE= $\text{[math]}$ OA•OE= $\text{[math]}$ ，又S_{正方形ABCD}=AB²，
∵S_△AOE=2S_{正方形ABCD}，
∴ $\text{[math]}$ n²=2AB²，即AB= $\text{[math]}$ n，
故OB=OA-AB=n- $\text{[math]}$ n= $\text{[math]}$ n，即B（- $\text{[math]}$ n，0）；
∴A（-n，0），B（- $\text{[math]}$ n，0）．
∵G是抛物线的顶点，且A（-n，0），B（- $\text{[math]}$ n，0），
∴G点的横坐标为- $\text{[math]}$ n；
易知G是线段AC的中点，故BC=AB=2y_G，
∴G点的纵坐标为 $\text{[math]}$ n；
即G（- $\text{[math]}$ n， $\text{[math]}$ n）；
设抛物线的解析式为y=a（x+ $\text{[math]}$ n）²+ $\text{[math]}$ n，将A（-n，0）代入上式，得：
a× $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ n=0，即a=- $\text{[math]}$ ；
∴y=- $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ n）²+ $\text{[math]}$ n=- $\text{[math]}$ x²-6x-2n；
故abc=（- $\text{[math]}$ ）×（-6）×（-2n）=-48．

（2）根据（1）得到的抛物线解析式，易知F（0，-2n）；
∵E（0，n），A（-n，0），G（- $\text{[math]}$ n， $\text{[math]}$ n），
∴S_△AEF= $\text{[math]}$ EF•OA= $\text{[math]}$ ，S_△EGF= $\text{[math]}$ EF•|x_G|= $\text{[math]}$ n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF= $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n²= $\text{[math]}$ n²，又n＞ $\text{[math]}$ ，
故S_△AGF的范围为：S_△AGF＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据直线AE的解析式可得到点E的坐标，根据正方形ABCD的边长相等得到AB=BC，即AO=OE，由此可求得点A的坐标；易求得△AOE的面积，即可得到正方形ABCD的面积，由于AB=BC，可用AB表示出正方形ABCD的面积，进而可得到AB的值（含n的表达式），由此可确定点B的坐标．由于点G是抛物线的顶点，即在抛物线的对称轴上，根据A、B的坐标，可求得点G的横坐标，而G点在直线AE上，那么G点的纵坐标应该是AB的 $\text{[math]}$ （由于AB=BC=2y_G），由此可确定点G的坐标；可将抛物线设为顶点坐标式，将A或B的坐标代入其中，即可求出含n的抛物线解析式，进而可求出abc的值；
（2）△AGF的面积无法直接求出，分析图形后可知△AGF的面积为△AEF、△EGF的面积差，这两个三角形的顶点的坐标都已求出，即可得到△AGF的面积表达式（含n的式子），根据已知的n的取值范围，即可求得△AGF的面积范围．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、图形面积的求法等重要知识，由于本题中大部分数据都是字母，乍看之下无从下手，但是只要将字母当做已知数来对待，即可按照常规思路解决问题．