Question

在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形OABC为矩形，0A边在x轴上，OC边在y轴上，OB是矩形的对角线，点B的坐标是（8，4），点D在x轴上，∠OBC=∠OBD
（1）求点D的坐标；
（2）点P从点0出发，沿0-B--C方向匀速运动，到达点C停止运动，点P运动的速度是2个单位/秒，设△PBD的面积为S，点P的运动时间为t，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点P的运动过程中，是否存在点P，使tan∠APD=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的对边平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到BD=OD，由B的坐标求出BC与AB的长，设BD=OD=x，由OA-OD表示出AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出D的坐标；
（2）由AB与OA的长，利用勾股定理求出OB的长，分两种情况考虑：P在OB上运动时与P在BC上运动时，分别表示出面积S与t的关系式即可；
（3）P在三个位置时满足题意，P为OB中点，P与B重合，DP垂直于BC时，分别求出P的坐标即可．
解答：解：（1）∵BC∥AO，
∴∠OBC=∠BOA，
∵∠OBC=∠OBD，
∴∠BOA=∠OBD，
∴BD=OD，
∵B（8，4），即BC=OA=8，AB=CO=4，
∴设BD=OD=x，则有AD=OA-OD=8-x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD²=AD²+AB²，即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴OD=5，即D（5，0）；

（2）过D作DE⊥OB，交OB于点E，连接PD，如图1所示，
∴∠BED=90°，
在Rt△AOB中，OA=8，AB=4，
根据勾股定理得：OB==4，
∵BD=OD，
∴E为OB的中点，即BE=OB=2，
∵∠CBO=∠DBO，
∴tan∠CBO====tan∠DBO，
∴tan∠DBO==，即DE=，
∵OP=2t，∴PB=OB-OP=4-2t，
当0＜t＜2时，S_△BDP=PB•DE=××（4-2t）=-5t+10；
过D作DE⊥BC，交BC于点E，连接PD，如图2所示，
∵∠DEB=∠EBA=∠BAO=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=4，
∵PB=2t-4，
当2＜t＜2+时，S_△BDP=PB•DE=×4×（2t-4）=t-；

（3）分三种情况，
当P₁在OB的中点，即P₁（4，2）时，由ABP1D四点共圆，得到∠AP₁D=∠ABD，
则tan∠AP₁D=tan∠ABD==；
当P₂与B重合时，P₂（8，4），显然tan∠AP₂D=tan∠ABD=；
当DP₃⊥BC时，△ABD≌△P₃DB，∴∠AP₃D=∠ABD，
则tan∠AP₃D=tan∠ABD==，此时P₃（5，4），
综上，满足题意的坐标为：P₁（4，2），P₂（8，4），P₃（5，4）．

点评：此题考查了相似型综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，坐标与图形性质，勾股定理，平行线的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．